Das kannst du auch, aber das ist für dich als Privatperson ein großer Aufwand und kostet mehr, als wenn du das über einen Anbieter wie eben z.B. Strato machst.
Die großen Anbieter melden sich direkt bei der DENIC an und haben zudem auch feste IP-Adressen für ihre eigenen Server, die auch in einem mit eingetragen werden im sog. DNS
Im Grunde genommen ist die URL auch nur ein Verweis. Im DNS (Domain-Name-Service) steht quasi eine Tabelle, auf der einen Seite steht die URL, auf der anderen Seite die IP des Servers und das entsprechende Verzeichnis in dem sich die eigentliche Seite befindet.
Wenn du eine Adresse wie z.B. www.supportnet.de im Browser eingibst, dann fragt der Browser den DNS-Server ab, der gibt die IP des Servers zurück und erst dann wird die eigentliche Seite aufgerufen.
Die URL ist also nicht unveränderlich mit einem bestimmten Server gekoppelt, und auch nicht für immer und ewig mit einem einzigen Besitzer.
Dass das ganze kostet ist logisch, imemrhin sitzen bei der Denic und den anderen Registrierungsstellen Leute, die das ganze verwalten, da laufen Rechner, die Strom verbrauchen und so weiter...