Hallo,
zunächst würde ich mal überprüfen ob der oder die Stecker vom Netzteil auf dem Board noch korrekt und fest sitzen und die Kabel auch nirgendwo einen Masseschluss haben können.
Um das Netzteil selbst zu prüfen werden dir vermutlich die entsprechenden Messinstrumente und Kenntnisse fehlen, sonst hättest du jetzt anders gefragt. Wenn du jedoch einigermaßen mit einem Schraubenzieher umgehen kannst, könntest du das Netzteil ausbauen, öffnen und mal einer optischen Prüfung auf verbrannte Isolierungen und/oder durchgeschmorte Bauelemente unterziehen, Kondensatoren die so aufgebläht sind dass ihre kreuzförmige Einschlitzung auf der Oberseite aufklafft sind z.B. ein sicheres Indiz dafür, dass das Netzteil nicht mehr die korrekte(n) Spannung(en) abgeben kann.
Da das von dir geschilderte Problem hauptsächlich im warmen Zustand auftaucht und der Rechner bei einem 'normalen' Start nur einmal piepst, könnte es auch sein, dass das Netzteil noch (fast) OK, aber total verdreckt ist und deswegen überhitzt. Auch dadurch können sich die Werte der abgegebenen Spannungen verändern. In diesem Fall mal den ganzen 'Mulch' aus dem Netzteil entfernen und auch den Lüfter reinigen. Aber bitte so vorsichtig dass das Lüfterlager dabei nicht beschädigt werden kann und er hinterher aus diesem Grund nicht mehr richtig dreht.
Wenn das alles nichts hilft und dir ein passendes Netzteil eines anderen Rechners zur Verfügung steht, könntest du mal mit diesem testen ob dein Rechner dann ohne diese Probleme läuft.
Gruß
Kalle