Zahlenlogik

Question

Mir stellt sich folgende Frage, bei der Programmierungen und ellenlange Aufzeichnungen Tabu sind und ich keinen Ansatz finde, obwohl er gegeben sein soll:

Die einfache Frage:
Wie oft ist die Q-Summe 8 das Ergebnis im Wertebereich 1-11111111, wobei die erlaubten Zahlen die 1-8 sind. Die 0 scheidet aus! Z.B. ist eine mögliche Zahl die 611 aber nicht die 620!

Hilfe!

Vielen Dank vorab für einen möglichen Ansatz!

Der Weltmeister

Answer 1

Ein Ansatz wäre erstmal rauszubekommen, wieviele Zahlen die Quersummer 8 haben, unabhängig von der Null.

Als nächste werden dann alle abgezogen, die Quersumme 8 haben und hinten eine Null.

Die Bedingung keine 9 kannst du ignorieren, da bei einer einfachen Quersumme mit 9 nicht 8 ergeben kann.

Answer 2

Ein Ansatz wäre erstmal rauszubekommen, wieviele Zahlen die Quersummer 8 haben, unabhängig von der Null.

Als nächste werden dann alle abgezogen, die Quersumme 8 haben und hinten eine Null.

Die Bedingung keine 9 kannst du ignorieren, da bei einer einfachen Quersumme mit 9 nicht 8 ergeben kann.

Gruss
Ebayuser

Answer 3

Danke ebayuser,

das mit der 9 ist schon klar, aber noch einmal zur Verdeutlichung, die 0 kann auch an anderer Stelle stehen und die Zahl scheidet dann auch aus z.B. ist auch 602 ein Ergebnis, welches nicht mitzählt!

Wo ist der jetzt der doofe Ansatz, der recht einfach sein soll?

Danke vorab
Der Weltmeister

Answer 4

Einen konkreten Ansatz kenne ich da nun auch nicht , aber mach dir mal ne Tabelle wo du reinschreibst, welche Zahlen rausfallen.

Anfangen würde ich wie folgt (Bsp. Zahlen mit 4 Ziffern):

Bsp.:
Alle Zahlen zwischen 9000 und 9999 fallen per Definition raus.
Alle Zahlen zwischen 8000 und 8999 fallen raus, weil zu gross.bzw. null enthalten.
Alle Zahlen zwischen 7100 und 7999 fallen raus, weil zu gross bzw. null enthalten.
Alle Zahlen zwischen 7000 und 7099 fallen raus, weil null enthalten.

Ich bin dabei so vorgangen:

fängt die Zahl mit 7 an, muss die nächste Stelle eine 1 sein, um auf die 8 zu kommen. Damit fallen alle Zahlen grösse als 71.... weg, da diese auf jedenfall grösser sind als 8. So kannst du ja erstmal schauen, ob der Ansatz für die unteren Bereiche geeignet ist.


Die Zahlenbereiche die Ausgeschlossen werden, werden mit steigender Anzahl an Stellen, dann immer grösser und das obwohl nur eine null oder 9 angehängt werden muss.

Kleiner Tipp: Die Anzahl liegt bei zwischen 100 - 200, wenn mein Programm das korret ausgerechnet hat.

Gruss
Ebayuser

Answer 5

Ich würde so anfangen:
1: Alle Möglichkeiten von Ziffernkombinationen bei einer Ziffernanzahl finden, dabei die Reihenfolge ignorieren.
2: Sie permutieren.

Beispiel:
1 Ziffer: 1 Ziffernkombination (nur 8)
2 Ziffern: 4 Ziffernkombinationen (1-7, 2-6, 3-5, 4-4)
3 Ziffern: x Ziffernkombinationen
und so weiter. Dabei am besten Regeln aufstellen und rekursiv vorgehen.

Schritt 2:
1 Ziffer: 1 Möglichkeit
2 Ziffern: 7 Möglichkeiten
3 Ziffern: x Möglichkeiten
und so weiter
Keine Ahnung, wie gut du in Mathe bist, daher der Tipp Permutation mit Wiederholung ist die richtige Formel.

Zum Schluss alles zusammenrechnen, die gesamte Arbeit sollte mit Papier und Stift nicht länger als vielleicht 15 Minuten dauern.

Den als Tipp gegebenen Bereich von ebayuser kann ich bestätigen.
Weiterer Tipp von mir: Das Ergebnis ist (zumindest in meinen Augen) eine auffällige Zahl.

Ele

(ich hab das grad mal alles ganz durchgerechnet. Kopier ich irgendwann noch rein)

Answer 6

Danke ebayuser, Danke elefunty,

vielen Dank für eure Tipps.
Habe mich mal so daran gemacht und nunmehr ein Ergebnis erzielt, welches ich gerne von euch Korrrektur lesen lassen möchte.

Habe da ne Zahlenreihe gefunden, die auch irgendwie so in das Schema von Quersummen passt.

Könnt Ihr das mal ansehen und antworten, wäre toll

1-7-21-35-35-21-7-1 = 2 hoch 7 = 128!!!!

Danke vorab,
Der Weltmeister!!!

Answer 7

Damit wäre jetzt wohl der Zeitpunkt gekommen, meinen kompletten Lösungsweg zu posten.

Beispiel:
1 Ziffer: 1 Ziffernkombination (nur 8)
2 Ziffern: 4 Ziffernkombinationen (1-7, 2-6, 3-5, 4-4)
3 Ziffern: 5 Ziffernkombinationen (1-1-6, 1-2-5, 1-3-4, 2-2-4, 2-3-3)
4 Ziffern: 5 Ziffernkombinationen (1-1-1-5, 1-1-2-4, 1-1-3-3, 1-2-2-3, 2-2-2-2)
5 Ziffern: 3 Ziffernkombinationen (1-1-1-1-4, 1-1-1-2-3, 1-1-2-2-2)
6 Ziffern: 2 Zahlenkombinationen (1-1-1-1-1-3, 1-1-1-1-2-2)
7 Ziffern: 1 Zahlenkombination (1-1-1-1-1-1-2)
8 Ziffern: 1 Zahlenkombination (nur 11111111)

Schritt 2:
1 Ziffer: 1 Möglichkeit
2 Ziffern: 7 Möglichkeiten
3 Ziffern: 3+6+6+3+3 = 21 Möglichkeiten
4 Ziffern: 4+12+6+12+1 = 35 Möglichkeiten
5 Ziffern: 5+20+10 = 35 Möglichkeiten
6 Ziffern: 6+15 = 21 Möglichkeiten
7 Ziffern: 7 Möglichkeiten
8 Ziffern: 1 Möglichkeit

Macht unterm Strich: 128

Die Reihe 1,7,21,35, also 1, 7*1, 7*3, 7*5 ist auffällig. Mich würde jetzt weiter mal interessieren, ob das irgendeine Gesetzmäßigkeit ist, oder ob sich diese Reihe begründen ließe. Entsprechend: würde sich so eine Reihe auch z.B. bei anderen Quersummen ergeben?
Ich bin grad zu faul, das selber zu testen, aber falls das einen Namen hat, würd ich mich über nen wiki-Link freuen.

Ele

Answer 8

Hallo und danke Elefunty,

.... "ob das irgendeine Gesetzmäßigkeit ist".....?

Genau das suche ich, denn in der Aufgabe wird zum Schluss beschrieben, dass die Lösung auf einem ganz einfachen Weg zu erzielen ist. Und Dein Ansatz, den ich dann ja auch angewendet habe, ist -zumindenst für mich- nicht unbedingt als "einfach" zu beschreiben, da man schnell irgendwas vergessen hat.

Bin gespannt, ob noch irgend jemand was findet.

Vielen Dank vorab
Der Weltmeister

Answer 9

Ok, für die ersten gehts ja schnell.

QS 1: 1 -> 2^0
QS 2: 2, 11 -> 2^1
QS 3: 3, 12, 21, 111 -> 2^2
QS 4: 4, 13, 22, 31, 112, 121, 211, 111 -> 2^3

Es scheint eine Gesetzmäßigkeit zu sein, dass es immer 2^(n-1) Zahlen gibt, die die Quersumme n haben.

Bei QS 8 kommt das ja auch hin.

Schlauer bin ich trotzdem nicht, da dieser Anfang der Reihe noch nicht als Beweis gilt.
Auch würde ich mich fragen, zählt das auch bei QS>9? (Wobei mir grade kein Grund einfällt, warum es nicht gehen sollte)

Ich kann mir irgendwie nicht vorstellen, dass man diese Reihe vielleicht über die ersten Quersummen finden und annehmen soll, dass sie auch für QS8 gilt, und das dann die Lösung der Aufgabe sein soll. Erscheint mir ohne echten Beweis mathematisch unsauber.

Ele

Answer 10

Hex elefunty,

hab mal weiter Stift und Papier in die Hand genommen und folgendes gefunden (ohne Anspruch auf Richtigkeit):

Stellen wir uns mal die Aufgaben vor:

Quersumme 1 (von 1-1); erlaubte Zahlen nur 1 = Lösung 1
Quersumme 2 (von 1-11); erlaubte Zahlen nur 1-2 = Lösung 2
Quersumme 3 (von 1-111); erlaubte Zahlen nur 1-3 = Lösung 4
Quersumme 4 (von 1-1111); erlaubte Zahlen nur 1-4 = Lösung 8
Quersumme 5 (von 1-11111); erlaubte Zahlen nur 1-5 = Lösung 21
Quersumm 6 (von 1-111111); erlaubte Zahlen nur 1-6 = Lösung 30
Quersumm 7 (von 1-1111111); erlaubte Zahlen nu 1-7 = Lösung 55
Quersumm 8 (von 1-11111111); erlaub Zahlen nu 1-8 = Lösung 128

Kannst das ja mal checken ob das stimmt und vielleicht findest Du ja was an Gesetzmäßigkeit.

Die Lösung der Aufgabe haben wir ja gefunden, aber wir suchen da ja noch was ...... die Regel!

Danke vorab,
der Weltmeister!