Danke Kalle, aber zwischenzeitlich habe ich einen Lösungsansatz gefunden, der auf einen standardmäßig falsch konfigurierten Speedport verweist:
Problem mit W724V-Speedport
Es geht ja nicht um irgendein spezielles Emailprogramm, sondern darum kein Gerät, das über diesen Router ins Netz geht, per Emailprogramm versenden kann.
Die Telekom scheint dies bereits seit Längerem erkannt zu haben, aber ohne bislang Abhilfe zu schaffen und ohne sein Callpersonal darin zu schulen.
Verifizieren kann ich das zur Zeit leider nicht, weil ich derzeit keinen Kontakt vorweihnachtszeitbedingt zum Leidenden habe.
Wenn es sich bestätigen sollte, werde ich es auch hier nochmal dokumentieren.