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Gefragt in Plauderecke von
Hallo zusammen:

Meine Frage:
Gegeben ist ein Viereck.
Bekannt ist lediglich, dass zwei gegenüberliegende Winkel rechtwinklig sind und das alle 4 Seiten unterschiedlich lang -ganzzahlig in Metern- sind.
Gesucht ist nunmehr der geringsmöglichste Flächeninhalt.
Wir suchen also die Länge der Strecken a, b, c und d.



Meine Ideen:
Da 2 gegenüberliegende Winkel rechtwinklig sind, bedeutet dass für mich, dass wir die Fläche mit 2 rechtwinkligen Dreiecken zusammensetzen müssen, wobei die Hypothenuse c identisch ist.
Insofern suche ich die Summe von 2 Quadratzahlen, die identisch ist mit 2 anderen Quadratzahlen.
Ich habe mir dazu eine Tabelle gemacht, finde jedoch keinen mathematischen Ansatz zur Lösung.
Durch Ausprobieren habe ich dann etwas gefunden - weiß jedoch nicht, ob das hier stimmt. - suche im Grunde ne Bestätigung.


P.S. Hab die Frage auch im Matheboard gestellt, kann jedoch dort auf eine Antwort nicht antworten, da ich dort nicht registriert bin und möchte das auch nicht -die dortige Lösung ist mir nicht klar!-.

Wäre schön, wenn ich hier Hilfe finden würde!

First time on supportnet
Rohrbert

19 Antworten

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Beantwortet von kjg17 Profi (34.4k Punkte)
Hallo Rohrbert,

nostalgiker6 hat da schon recht, mit (diagonal) gegenüberliegenden Winkeln ist die Aufgabenstellung Nonsens, das geht nur mit benachbarten Winkeln. Da hast du die Aufgabestellung nicht wirklich korrekt wiedergegeben und ich nicht weiter darüber nachgedacht.

Beim nochmaligen Lesen ist mir dann aber aufgefallen, dass bei mir nicht alle Seiten unterschiedlich lang sind, also nochmal korrigieren:

Die kleinste ganzzahlige Lösung für a[sup]2[/sup] + b[sup]2[/sup] = c[sup]2[/sup] ist 3[sup]2[/sup] + 4[sup]2[/sup] = 5[sup]2[/sup] (ich weiß das, du musst es allerdings berechnen) Die kurze Kathete ist also 3 m, die lange 4 m, die Hypotenuse 5 m.

Wenn wir das Rechteck an der kurzen Kathete ansetzten hat es somit eine Höhe von 3 m, aber die 4 m der langen Kathete + 1 m Mindestbreite für das Rechteck würden auch 5 m ergeben, was aber der Länge der Hypotenuse entspricht, also nicht nochmal vorkommen darf.

Wenn wir die kurze Seite des Rechtecks auf 2 m erhöhen ergibt das Seitenlängen von 6 + 3 + 2 + 5 m bei einem Flächeninhalt von 12 m² (Dreieck 4*3/2 = 6 m² + Rechteck 2*3 = 6 m²)

Gruß
Kalle
0 Punkte
Beantwortet von
Hallo zusammen,

zur Klarstellung -hab mich echt unverständlich ausgedrückt- nochmal explizit zur Aufgabe:

.... bekannt ist lediglich, dass die Form der "Figur" viereckig ist und das lediglich nur 2 Winkel (die gegenüber liegen) rechtwinklig sind und das alle 4 Seiten unterschiedliche ganzzahlige Längen aufweisen.

Im Matheboard so richtig dargestellt:

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=459731

Hab ja schon gesagt, dass ich mich hier nicht anmelden möchte,
geht hier ja toll ab:

Bitte gebt weiter Resonanz

Danke vorab
Rohrbert
0 Punkte
Beantwortet von kjg17 Profi (34.4k Punkte)
Hallo Rohrbert,

tatsächlich, nach der dort gezeigten Abbildung ist das mit dem gegenüberliegenden rechten Winkeln möglich, da hab wohl nicht nur ich zu kurz gedacht. ;0)

Gruß
Kalle
0 Punkte
Beantwortet von nostalgiker6 Experte (7.1k Punkte)
Sorry - ich auch!
0 Punkte
Beantwortet von derpfleger Experte (1.4k Punkte)
Das Bild vom matheboard - geometrisch gelöst:

Es sei unten links Eckpunkt A, dann gegen den Uhrzeigersinn B, C, D.
Es sei die waagerechte Linie unten a, dann gegen den Uhrzeigersinn b, c, d.
Es sei m die Verbindung zw. A und C, m ist also die gemeinsame Grundlinie zweier rechtwinkliger Dreicke.
Es sei A1 die Fläche des Dreiecks ABC und A2 die Fläche des Dreiecks CDA.
Es sei A die Gesamtfläche des Vierecks.

Mit folgenden ganzen Zahlen ergibt es Sinn:
a = 7
b = 24
c = 15
d = 20

Dann ist also
m[sup]2[/sup] = a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup] = 7[sup]2[/sup]+24[sup]2[/sup] = 49+576 = 625 und
m = Wurzel aus 625 = 25

und auch
m[sup]2[/sup] = c[sup]2[/sup]+d[sup]2[/sup] = 15[sup]2[/sup]+20[sup]2[/sup] = 225+400 = 625 und somit
m = Wurzel aus 625 = 25

Die Fläche:
A1 = (a*b)/2 = (7*24)/2 = 168/2 = 84
A2 = (c*d)/2 = (15*20)/2 = 300/2 = 150 und somit

A = A1+A2 = 84+150 = 234

Gruß spflegerle
0 Punkte
Beantwortet von derpfleger Experte (1.4k Punkte)
Das wäre also ein passendes Zahlenbeispiel. Ein mathematisch sauberer Beweis, dass genau das auch den kleinsten Flächeninhalt ergibt, sieht sicher anders aus.

derpfleger (gibt sich hier geschlagen)
0 Punkte
Beantwortet von kjg17 Profi (34.4k Punkte)
Hallo Rohrbert,

in Prinzip läuft es daraus hinaus, dass von einem rechtwinkligem Dreieck, dessen Seitenlängen ganzzahlig sind, die eine Ecke 'abgeschnitten' wird. Wobei die abgeschnittene Fläche wegen der geforderten Ganzzahligkeit der Seiten des sich dann ergebenden Vierecks einem kleinerem Dreieck mit den gleichen Eigenschaften entsprechen muss.

Das Problem dabei, die beiden Dreiecke sind zueinander 'verdreht', man muss also die zwei kleinsten Dreiecke entsprechend der o.a. Bedingungen finden, welche den gleichen Winkel zwischen Hypotenuse und langer Kathete aufweisen um das eine von dem anderen Dreieck bei der Berechnung der Rest-Fläche und der Seitenlängen abziehen zu können und trotzdem bei zwei gegenüberliegenden rechten Winkeln zu bleiben. Die Anforderung, dass sich die Seitenlängen des sich nach dem Abzug ergebenden Vierecks dabei auch noch alle voneinander unterscheiden müssen, könnte sich dabei als zusätzlicher Stolperstein entpuppen.

Unter Excel endlos diverse Kombinationen zu berechnen um dann die 2 herauszufinden, welche zu dem gewünschten Ergebnis führen wäre zwar möglich, ist aber bestimmt nicht das, was die Aufgabensteller von dir erwarten. Da ist wohl eher eine mathematisch saubere Formel gefordert.

Wie das geht kann ich dir leider auch nicht verraten, der letzte Matheunterricht ist bei mir nun doch schon schon ein paar Tage her.

Gruß
Kalle
0 Punkte
Beantwortet von
Vielen vielen Dank bis hierher,

die geometerische Lösung von spflegerle geht hier noch einen Schritt weiter und ergibt sogar einen ganzzahligen Wert für die "beiden" Hypothenusen, was in der Aufgabe nicht (unbedingt) gefordert wurde.

Lasst uns uns nicht wirklich geschlagen geben..... ;-)

Hat noch jemand ne Idee?

Und P.S. kennt jemand die richtige mathematische Bezeichnung für so ein Viereck?

Gruß
Rohrbert
0 Punkte
Beantwortet von kjg17 Profi (34.4k Punkte)
Hallo Rohrbert,

die Länge 25 der Hypotenuse ist tatsächlich der kleinste Wert, zu dem es 2 ganzahlige Lösungen -> Pythagoreische Tripel gibt und diese 2 rechtwinkligen Dreiecke somit aneinander gesetzt werden können, um das gesuchte Viereck zu erhalten.

Auf der o.a. Website wirst du vermutlich auch die von dir benötigten 'Anregungen' zur Berechnung finden, an die eine oder andere Sache konnte ich mich sogar noch schwach erinnern. ;0) Das liegt aber so weit zurück und abseits meiner üblichen 'Zahlenspielereien', dass ich mich damit jetzt nicht unbedingt näher beschäftigen möchte.

Gruß
Kalle
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