Differenzialrechnung

Question

Hallo Leute,

ich hab vor gefühlten 800 Jahren mal Differenzialrechnung gehabt. Die Lösungswege unterscheiden sich nun nur leider von denen, die heute up-2-date sind, so dass ich Schwierigkeiten habe, meiner Tochter zu helfen.

Daher meine Bitte, wie löst man heutzutage folgende Aufgabe (hab leider kein Matheforum; und soweit will ich es auch nicht treiben)!

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berührt die Abzissenachse bei X=3 und verläuft durch P(4/3) und Q(1/4)!
Wie lautet die Funktionsgleichung???

Danke vorab
Der Weltmeister

Answer 1

Hallo,

ich versuche dir mal etwas zu helfen.

Polynom 3. Grades sieht folgendermaßen aus:
f(x) = a*x³ + b*x² + c*x + d

Abzissenachse ist die normale X-Achse.
Das X=3 bedeutet, dass für den Wert x = 3, die Funktion die X-Achse berührt. "Berühren" steht hier für eine doppelte Nullstelle.

Das bedeutet:
a* 3³ + b * 3² + c*2 + d = 0

Nun hast du noch zwei Punkte gegeben (P, Q) die auf dem Graphen der Funktion liegen.

Das bedeutet:
- für P(4/3)
a*4³ + b*4² + c*4 + d = 3

- für Q(1/4)
a*1³ + b*1² + c * 1 + d = 4

Jetzt kannst du den Gauß'schen Algorithmus anwenden
Hierfür nimmst du 4 Spalten (a, b, c, d, f(x))
__a__b__c__d__f(x)

Du hast ja obige drei Gleichungen. Diese trägst du in Form einer Tabelle ein

Gleichung 1:
a* 3³ + b * 3² + c*3 + d = 0
27*a + 9*b + 3*c + d = 0

Gleichung 2:
a*4³ + b*4² + c*4 + d = 3
a*64 + b*16 + 4*c + d = 3

Gleichung 3:
a*1³ + b*1² + c * 1 + d = 4
a + b + c + d = 4

In die Tabelle trägst du nun die Werte für die einzelnen Variablen ein.

__a__b__c__d__f(x)
_27__9__3__1__0
_64_16__4__1__3
__1__1__1__1__4

Nun musst du versuchen von unten links ein Dreieck aus 0en zu erzeugen. Also sowas

...........................
0_X_X_X_f(x)
0_0_X_X_f(x)
0_0_0_X_f(x)

Dadurch kannst du eine Variable nach der anderen lösen.
Durch die letzte Zeile kannst du "d" lösen. "d" kannst du dann in die Zeile drüber einsetzen und so weiter.

Hierfür solltest du dir mal den Gauß'schen Algorithmus näher ansehen (evtl. Wikipedia o.ä.)

Ich hoffe ich konnte dir etwas helfen.

Patumpatum

Answer 2

Das bedeutet:
a* 3³ + b * 3² + c*2 + d = 0

Soll natürlich:
a* 3³ + b * 3² + c*3 + d = 0 heißen

Answer 3

Hallo Patumpatum,

konnte komplett folgen bis zu dem Punkt, wo Du den
Gauß'schen Algorithmus ins Rennen bringst.

Das kannte ich zumindest auf dem Lösungsweg der Differenzialrechnungen aus meinen Zeiten nicht. So sei es....

Hab meine Tochter gefragt, ob Sie diesen "Modi" in der Schule schon mal gehört hat. Und sie sagte "Nein", wir lösen anders. Sie sagte, dass dort und heute, da wir ja 4 Unbekannte haben, eine vierte Gleichung gesucht wird.

Laut Ihren Aufzeichnungen gelangt man über die Formel (s.o. aus Deiner Beschreibung)

27*a + 9*b + 3*c + d = 0 (gilt für f)

zu:

27a + 6b + c = 0 (gilt für f` = f-Strich, also erste Ableitung)!!

Sie kann mir nicht erklären, wie das in der Schule erklärt bzw. bewiesen wurde.

Selbst wenn das stimmt, kann ich nicht nachvollziehen, ob das wirklich eine verwertbare Gleichung ist, um aus 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten ein Ergebnis zu erzielen welches stimmt, da die letzte Gleichung eben aus der ersten Ableitung stammt.

Kannst Du oder andere mir hier noch mal unter die Arme greifen.

Ich möchte Ihr so gern helfen, dazu brauche ich jedoch eure Hilfe.

Danke vorab, der Weltmeister!!! (Kann immer noch nicht verstehen, dass sich die Lösungswege im Laufe der Zeit immer ändern!)

P.S. Patumpatum, wie würde die Funktionsgleichung denn lauten???
und wie würdest Du nach:

...........................
0_X_X_X_f(x)
0_0_X_X_f(x)
0_0_0_X_f(x)

weitermachen???

Answer 4

Hallo,

da man mehr Variablen als Gleichungen hat, liegt ein unterbestimmtes Gleichungssystem vor.

Die Gleichung für die 1. Ableitung kann ich selber nur in gewissem Maße nachvollziehen. Dass "d" als Variable wegfällt ist klar.
Aus "3*c" wird nur "c", ebenfalls klar.
"a" und "b" verwirren mich jedoch etwas

Dazu fehlt mir jetzt der mathematische Gedank dahinter.

Ich bezweifle auch, dass man die Gleichung der 1. Ableitung mit zu den anderen 3 aufnehmen darf, da diese ja nicht die eigentlich Funktion "behandelt"

Achtung: Die vierte Gleichung dient nur der Erklärung des Algorithmus. Man sieht, dass am Ende seltsame Werte herauskommen. Ich gehe davon aus, dass diese Gleichung nicht richtig bzw. nicht anwendbar ist.

Alte Tabelle + 4. Gleichung:
____a____b____c____d____f(x)
___27____9____3____1____0
___64___16____4____1____3
____1____1____1____1____4
___27____6____1____0____0

Jetzt vertauschen wir Spalte "d" und "a". Das macht es uns einfacher zu rechnen.

____d____b____c____a____f(x)
____1____9____3___27____0
____1___16____4___64____3
____1____1____1___1____4
____0____6____1___27____0

Jetzt bringen wir vorderen 1en von Zeile 2 und 3 weg. In Zeile 4 haben wir ja schon eine 0
Dazu ziehen wir einfach die jeweilige Zeile von Zeile 1 ab.
Es folgt:

____d____b____c____a____f(x)
____1____9____3___27____0
____0____7____1___37____3
____0___-8____-2__-26____4
____0____6____1___27____0

Jetzt teilen wir die Zeile 3 durch (-2)
Es folgt:

____d____b____c____a____f(x)
____1____9____3___27____0
____0____7____1___37____3
____0____4____1___13____-2
____0____6____1___27____0

Jetzt nehmen wir die dritte Zeile mal 3 und die vierte Zeile mal 2 um ein gemeinsames Vielfaches zu erhalten
Es folgt:

____d____b____c____a____f(x)
____1____9____3___27____0
____0____7____1___37____3
____0___12____3___39____-6
____0___12____2___54____0

Jetzt ziehen wir von der vierten Zeile die dritte Zeile ab

____d____b____c____a____f(x)
____1____9____3___27____0
____0____7____1___37____3
____0___12____3___39____-6
____0____0____-1__ 15____6

Jetzt müssen wir aus der vorderen 12 oder 7 eine 0 machen.
Wir tauschen dazu die Spalte "c" mit "b"
Es folgt:

____d____c____b____a____f(x)
____1____3____9____27____0
____0____1____7____37____3
____0____3____12___39____-6
____0___-1____0____ 15____6

Jetzt nehmen wir Zeile 2 mal (-3) und addieren das auf Zeile 3
Es folgt:
____d____c____b____a____f(x)
____1____3____9____27____0
____0____1____7____37____3
____0____0___-9____-72___-15
____0___-1____0____ 15____6

Jetzt addieren wir auf die vierte Zeile die zweite Zeile
Es folgt:
____d____c____b____a____f(x)
____1____3____9____27____0
____0____1____7____37____3
____0____0___-9____-72___-15
____0____0____7____52____9

Jetzt teilen wir die dritte Zeile durch (-3)
Es folgt:
____d____c____b____a____f(x)
____1____3____9____27____0
____0____1____7____37____3
____0____0____3____24____5
____0____0____7____52____9

Jetzt nehmen wir die dritte Zeile mal 7 und die vierte Zeile mal 3
Es folgt:
____d____c____b____a____f(x)
____1____3____9____27____0
____0____1____7____37____3
____0____0___21___189____35
____0____0___21___156____27

Jetzt ziehen wir von der vierten Zeile die dritte ab.
Es folgt:
____d____c____b____a____f(x)
____1____3____9____27____0
____0____1____7____37____3
____0____0___21___189____35
____0____0____0___-33____-8

Aus Zeile 4 folgt jetzt:

-33 * a = -8 // Geteilt durch (-33)
a = 8/33

Man sieht, es kommen leicht seltsame Werte heraus.

Dieses Ergebnis musst du in die Zeile 3 einsetzen. Dadurch erhälst du die nächste Variable usw.

Ich hoffe, du weißt jetzt wie der Algorithmus funktioniert.
Mit der richtigen 4. Gleichung kommt dann auch was vernünftiges heraus.

Patumpatum

Answer 5

Das bedeutet:
a* 3³ + b * 3² + c*2 + d = 0

und doppelte Nullstelle hattest du ja oben schon geschrieben. Das bedeutet dass an dieser Stelle nicht nur die Funktion selbst sondern auch die erste Ableitung Null ist.

@Weltmeister
Die X-Achse berühren bedeutet dass die Funktion an dieser Stelle einen Wendepunkt hat und damit die Steigung, also die erste Ableitung, Null ist.

f'(x)=a*3*x hoch2+b*2*x+c
F'(3)=a*3*9+b*2*3+c=27a+6b+c=0

folglich stimmt die Formel deiner Tochter, die Verwirrung kommt vermutlich daher dass sich die 27 nicht verändert weil ja (bei x=3)
3*x (hoch)2 = x (hoch)3

Gruß Gonozal

Answer 6

Es gilt:
f(4)=3
f(1)=4
f(3)=0
f´(3)=0

Daraus folgt:
a=2/3
b=-11/3
c=4
d=3

Grüße
Conny