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Mal wieder einer, der Mathe-Hilfe braucht… (Kreise und Tangenten)
Frage
Hallo zusammen,
ich brauche eure Hilfe bei einer mathematischen Aufgabe:
Ich habe ein 2D-Koordinatensysten (mit den Achsen x und y). In diesem befinden sich zwei Kreise.
K1 mit dem Mittelpunkt M1 (x1|y1) und dem Radius r1 und
K2 mit dem Mittelpunkt M2 (x2|y2) und dem Radius r2.
Ich suche die [b]Geradengleichungen der beiden Geraden, die sowohl an K1 als auch an K2 tangential anliegen[/b].
Und das überfordert mich, zumal ich keinen der Punkte, in denen die Tangenten die Kreise berühren, kenne.
Ich sehe zwar schon einen Weg, mit dem ich nach recht langer Rechenzeit wahrscheinlich auf die Lösung komme. Aber dafür benötige ich die Hilfe meiner Formelsammlung, die genau an der entscheidenden Stelle nicht eindeutig ist. :(
Bitte helft mir! Ich brauche das für die Arbeit…
Danke schon mal!
Gruß, Heiko1985
Antwort 1 von Bulbo
a = xwert Tangente am Kreis 1
b = ywert Tangente am Kreis 1
c = xwert Tangente am Kreis 2
d = ywert Tangente am Kreis 2
e = xwert Mittelpunkt Kreis 1
f = ywert Mittelpunkt Kreis 1
g = xwert Mittelpunkt Kreis 2
h = ywert Mittelpunkt Kreis 2
i = Radius Kreis 1
j = Radius Kreis 2
Geradenformel durch die 2 Kreispunkte:
I: y = (c-a)/(d-b) * x + (c*b-d*a)/(c-a)
Formeln für die einzelnen Kreise
II: (a-e)²+(b-f)²=i²
und
III: (c-g)²+(d-h)²=j²
Am Schluß muss sich a,b,c,d rauskürzen. Es ist übrigens schon abzusehen, dass 4 Geradengleichungen herauskommen. Klar?
Jetzt Gleichung II nach a und b auflösen.
Gleichung III nach c und d.
Es kommen jeweils 2 Gleichungen heraus. Also insgesamt 8!
In Gleichung I einsetzen gibt die Ergebnisse:
Du hast also 4 Variablen mit jeweils 2 Möglichkeiten also 16 Formeln. Davon sind je 4 gleichwertig. Ergibt Deine 4 Formeln.
Solltest also ein PC Programm zum Berechnen verwenden. Ist extrem aufwendig, da Du noch nicht mal die Kreismittelpunkte gegeben hast. Sonst vereinfacht es sich durch Gleichung I stark.
Rechnen darfst Du mal selber.
b = ywert Tangente am Kreis 1
c = xwert Tangente am Kreis 2
d = ywert Tangente am Kreis 2
e = xwert Mittelpunkt Kreis 1
f = ywert Mittelpunkt Kreis 1
g = xwert Mittelpunkt Kreis 2
h = ywert Mittelpunkt Kreis 2
i = Radius Kreis 1
j = Radius Kreis 2
Geradenformel durch die 2 Kreispunkte:
I: y = (c-a)/(d-b) * x + (c*b-d*a)/(c-a)
Formeln für die einzelnen Kreise
II: (a-e)²+(b-f)²=i²
und
III: (c-g)²+(d-h)²=j²
Am Schluß muss sich a,b,c,d rauskürzen. Es ist übrigens schon abzusehen, dass 4 Geradengleichungen herauskommen. Klar?
Jetzt Gleichung II nach a und b auflösen.
Gleichung III nach c und d.
Es kommen jeweils 2 Gleichungen heraus. Also insgesamt 8!
In Gleichung I einsetzen gibt die Ergebnisse:
Du hast also 4 Variablen mit jeweils 2 Möglichkeiten also 16 Formeln. Davon sind je 4 gleichwertig. Ergibt Deine 4 Formeln.
Solltest also ein PC Programm zum Berechnen verwenden. Ist extrem aufwendig, da Du noch nicht mal die Kreismittelpunkte gegeben hast. Sonst vereinfacht es sich durch Gleichung I stark.
Rechnen darfst Du mal selber.
Antwort 2 von Bulbo
Ach herje. Habs grade durchgerechnet und gesehen, dass sich a,b,c und d nicht herauskürzen. Du musst noch einbeziehen, dass die Tangentenpunkte im Abstand des Radius vom Mittelpunkt entfernt sind.
Viel Spaß.
Für was ist denn diese Aufgabe?
Viel Spaß.
Für was ist denn diese Aufgabe?
Antwort 3 von Bulbo
Zusätzlich also diese Formeln verwenden und als i² und j² einsetzten.
IV: i² = (a-e)²+(b-f)²
V: j² = (c-g)²+(d-h)²
Das ist Pythagoras und beschreibt das Dreieck zwischen Mittelpunkt und Tangentenberührpunkt.
Also die aufgelösten Gleichungen II und III in I einsetzen gibt 16 Formeln. (Jeweils + und - vor dem Wurzelausdruck - habs berechnet).
Gleichung IV und V kannst Du direkt in die 16 Gleichungen einsetzten, da i² und j² jeweils zweimal vorkommen.
Die Ausdrücke sind aber sehr lang, geht nur mit gutem Taschenrechner (TI-89) oder PC.
Bin mir aber sicher, dass es eine einfachere Lösung geben müsste, z.B. über Polarkoordinaten. Du löst in der Polardarstellung nach dem Winkel auf. Das gibt 4 Gleichungen. 2 Für x, 2 für y jeweils von Kreis 1 und 2.
z.B. x = x0+r*cos(t) ...
Setzt die Winkel gleich nur mit anderem Vorzeichen, da um 180° gedreht. Jeweils 90° zur Tangente. Klar? Dann fällt das rechnen über die Tangentenberührpunkte weg. Diese Punkte (x und y) bekommst Du ja in dieser Rechnung raus. Dann in die Geradengleichung I einsetzten sollte auch funktionieren.
IV: i² = (a-e)²+(b-f)²
V: j² = (c-g)²+(d-h)²
Das ist Pythagoras und beschreibt das Dreieck zwischen Mittelpunkt und Tangentenberührpunkt.
Also die aufgelösten Gleichungen II und III in I einsetzen gibt 16 Formeln. (Jeweils + und - vor dem Wurzelausdruck - habs berechnet).
Gleichung IV und V kannst Du direkt in die 16 Gleichungen einsetzten, da i² und j² jeweils zweimal vorkommen.
Die Ausdrücke sind aber sehr lang, geht nur mit gutem Taschenrechner (TI-89) oder PC.
Bin mir aber sicher, dass es eine einfachere Lösung geben müsste, z.B. über Polarkoordinaten. Du löst in der Polardarstellung nach dem Winkel auf. Das gibt 4 Gleichungen. 2 Für x, 2 für y jeweils von Kreis 1 und 2.
z.B. x = x0+r*cos(t) ...
Setzt die Winkel gleich nur mit anderem Vorzeichen, da um 180° gedreht. Jeweils 90° zur Tangente. Klar? Dann fällt das rechnen über die Tangentenberührpunkte weg. Diese Punkte (x und y) bekommst Du ja in dieser Rechnung raus. Dann in die Geradengleichung I einsetzten sollte auch funktionieren.
Antwort 4 von Heiko1985
Puh, viiielen Dank für deine Mühe!!!
Mittlerweile konnte ich das Problem lösen. Teils durch deine Hilfe, teils durch meine rudimentären Mathekenntnisse. Ich bin jetzt froh! :)
Danke nochmals!!!
Mittlerweile konnte ich das Problem lösen. Teils durch deine Hilfe, teils durch meine rudimentären Mathekenntnisse. Ich bin jetzt froh! :)
Danke nochmals!!!
Antwort 5 von vanny
Versuch doch mal auf der Seite www.Klassenarbeiten.de